Существует еще одна интересная задача, при решении которой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «случайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х = 0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), либо назад (до точки -х), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе - так называемое броуновское движение - или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты.

Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров случайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением D N , за N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании.

Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожидать, что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятностью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, г. е. каково среднее значение |D|? Впрочем, удобнее иметь дело не с |D|, а с D 2 ; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блужданий.

Можно показать, что ожидаемая величина D 2 N равна просто N- числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величиной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов блуждания. Эта величина обозначается как 2 N > и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного шага D 2 всегда равно +1, поэтому, несомненно, 2 1 > = 1. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины.)

Ожидаемая величина D 2 N для N > 1 может быть получена из D N -1 . Если после (N - 1) шагов мы оказались на расстоянии D N -1 то еще один шаг даст либо D N = D N -1 + 1, либо D N =D N -1 - 1. Или для квадратов

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью 1/2, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая величина D 2 N будет просто D 2 n-1 + 1. Но какова величина D 2 n-1 , вернее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» 2 n-1 >, так что

Если теперь вспомнить, что 2 1 > = 1, то получается очень простой результат:

Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из D < 2 N > и получить так называемое «среднее квадратичное расстояние» Dск:

Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то D N . будет просто равно N 0 - N P , т. е. разности числа выпадений «орла» и «решки». Или поскольку N 0 + N P = N (где N - полное число подбрасываний), то D N = 2N 0 - N. Вспомните, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого распределения величины No [она обозначалась тогда через k; см. уравнение (6.5)]. Ну а поскольку N - просто постоянная, то теперь такое же распределение получилось и для D. (Выпадение каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между N 0 и D появляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов (k = 15 соответствует D = 0, а k= 16 соответствует D= 2 и т. д.).

Отклонение N 0 от ожидаемой величины N/2 будет равно

откуда для среднего квадратичного отклонения получаем

Вспомним теперь наш результат для D ск . Мы ожидаем, что среднее расстояние, пройденное за 30 шагов, должно быть равно √30 = 5,5, откуда среднее отклонение k от 15 должно быть 5,5: 2 ≈ 2,8. Заметьте, что средняя полуширина нашей кривой на фиг. 6.2 (т. е. полуширина «колокола» где-то посредине) как раз приблизительно равна 3, что согласуется с этим результатом.

Теперь мы способны рассмотреть вопрос, которого избегали до сих пор. Как узнать, «честна» ли наша монета? Сейчас мы можем, по крайней мере частично, ответить на него. Если монета «честная», то мы ожидаем, что в половине случаев выпадет «орел», т. е.

Одновременно ожидается, что действительное число выпадений «орла» должно отличаться от N/2 на величину порядка √N/2, или, если говорить о доле отклонения, она равна

т. е. чем больше N, тем ближе к половине отношение N0/N.

На фиг. 6.6 отложены числа N 0 /N для тех подбрасываний монеты, о которых мы говорили раньше. Как видите, при увеличении числа N кривая все ближе и ближе подходит к 0,5. Но, к сожалению, нет никаких гарантий, что для каждой данной серии или комбинации серий наблюдаемое отклонение будет близко к ожидаемому отклонению. Всегда есть конечная вероятность, что произойдет большая флуктуация - появление большого числа выпадений «орла» или «решки»,- которая даст произвольно большое отклонение. Единственное, что можно сказать,- это если отклонения близки к ожидаемому 1/2√N (скажем, со множителем 2 или 3), то нет оснований считать монету «поддельной» (или что партнер плутует).

Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или какого-то другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что возможны два или несколько достоверно не предсказуемых исхода наблюдения, например камень, который может упасть только на какую-то из двух сторон), имеется достаточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны. Мы определили вероятность Р(О) как отношение 0 >/N. Но что принять за величину 0 >? Каким образом можно узнать, что ожидается! Во многих случаях самое лучшее, что можно сделать, это подсчитать число выпадений «орла» в большой серии испытаний и взять 0 > = N 0 (наблюденное). (Как можно ожидать чего-то еще?) При этом, однако, нужно понимать, что различные наблюдатели и различные серии испытаний могут дать другое значение Р(О), отличное от нашего. Следует ожидать, однако, что все эти различные ответы не будут расходиться больше чем на 1/2√N [если Р(О) близко к половине]. Физики-экспериментаторы обычно говорят, что «экспериментально найденная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде

При такой записи подразумевается, что существует некая «истинная» вероятность, которую в принципе можно подсчитать, но что различные флуктуации приводят к ошибке при экспериментальном ее определении. Однако нет возможности сделать эти рассуждения логически согласованными. Лучше все-таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком-то смысле - вещь субъективная, что она всегда основывается на какой-то неопределенности наших познаний и величина ее колеблется при их изменении.

ЧТО ЗА ЧЕРТОВЩИНА ЭТО «СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ»?

Чартизм стар, как египетские папирусы. Метод «случайного блуждания» тоже имеет древние корни, но в законченном виде столь же юн, как и компьютеры. Чартизм пытается найти какой-то порядок в происходящем - метод «случайного блуждания» утверждает, что никакого порядка нет. И если сторонники теории случайного блуждания правы, то чартисты вот-вот останутся без работы, а над всеми аналитиками по ценным бумагам сгустились грозные тучи.

Сторонники «случайного блуждания» в массе своей университетские профессора, работающие на факультетах бизнеса и экономики. Они хорошо владеют сложным математическим языком и с удовольствием им пользуются. Более того, статьи о «случайном блуждании», пишущиеся этими учеными, просто обязаны быть абсолютно непонятными для непосвященных и перенасыщенными математическими символами для того, чтобы произвести должное впечатление на коллег. Если вы хотите посмотреть, как оно выглядит, попробуйте почитать журнал «Киклос» - в нем таких статей не одна и не две. Обширный материал, относящийся к интересующей нас теме, может быть найден именно там. Но мы обнаружим его и в сборнике «Случайный характер цен на фондовой бирже» (опубл. Массачусетским институтом технологии под ред. профессора Пола Кутнера), и в 16-м номере «Избранных трудов факультета бизнеса Чикагского университета», в работе профессора Юджина Феймы «Случайное блуждание применительно к ценам на фондовой бирже».

Что такое «случайное блуждание»? Я не в состоянии понять и половины статей, посвященных этому предмету, поскольку мое знание булевой алгебры ограничено, а знание стохастическим серий равно нулю. Но после ряда бесед с ребятами, занимающимися случайным блужданием, до меня дошло, что всю эту хитрость можно определить одним-единственным предложением. Позднее профессор Кутнер через одного из моих друзей передал, что мое отделение вполне годится, а посему, без всяких уравнений, S и D, я его привожу здесь.

Цены не имеют памяти, а вчерашний день не имеет никакого отношения к завтрашнему. Каждый новый день начинается с вероятности 50 на 50. Вчерашние цены уже включали в себя все детали вчерашнего дня. Или, как сказал профессор Фейма, «прошлая история серии (изменений цены акции) не может быть использована для прогнозов будущего никаким рациональным образом. Будущее движение уровня цен в целом или цены отдельно взятого актива предсказуемо не более чем движение серии случайных чисел».

Беспорядочностью как способом переиграть рынок занимаются, конечно, не одни университетские профессора. Сенатор Томас Дж. Макинтайр, демократ из Нью-Гэмпшира и член влиятельного банковского комитета Сената, в один прекрасный день принес с собой обычную настенную мишень для метания стрелок-дротиков. Он прикрепил к ней список компаний с фондовой биржи и принялся метать дротики. Пакет акций, выбранный с помощью дротиков, оказался результативнее портфелей подавляющего большинства взаимных фондов. (Таким образом, дротики сенатора Макинтайра подтвердили показания теоретиков случайного блуждания, профессоров Пола Сэмюэлсона из МИТ и Генри Уоллича из Йельского университета, данные ими на сенатских слушаниях при обсуждении законодательства о взаимных фондах.) Если такие крупнокалиберные орудия, как профессора Сэмюэлсон и Уоллич плюс банковский комитет Сената столь серьезно относятся к «случайному блужданию», то всем остальным стоит крепко задуматься: ведь если в «случайном блуждании» действительно заключается Истина, то ценность всех графиков и всех инвестиционных консультаций равна нулю - а это может очень серьезно повлиять на правила Игры.

Знаете ли Вы, что: брокер бинарных опционов Binomo для своих клиентов регулярно проводит турниры с бесплатной регистрацией и реальными денежными призами.

Первое исходное положение «случайного блуждания» заключается в том, что рынок, - например Нью-Йоркская фондовая биржа - представляет собой «эффективный» рынок, то есть такой, где цифры рациональны, а нацеленные на прибыль инвесторы конкурируют между собой, имея примерно равный доступ к информации и пытаясь определить будущее поведение цен.

Второй исходный тезис гласит, что акции имеют действительную ценность - «равновесную цену» на языке экономистов - и что в любой отдельно взятый момент цена акции может быть хорошим показателем ее действительной ценности, которая в целом зависит от доходности данной акции. Но поскольку никто с уверенностью не может сказать, что же такое действительная ценность, то, как говорит профессор Фейма, «действия множества конкурирующих участников должны вызывать случайные блуждания текущей цены акции вокруг ее действительной ценности».

Сторонники «случайного блуждания» испытали свою теорию на «эмпирических доказательствах». Целью исследования было математически продемонстрировать, что последовательные изменения цены происходят независимо друг от друга. Вот вам фрагмент одного из текстов - просто чтобы хорошенько вас припугнуть. Его автор профессор МИТ Уильям Стайгер, а сама работа была опубликована в сборнике «Случайный характер цен на фондовой бирже».

«Тест основан на выборочном распределении статистики, относящейся к чисто случайным блужданиям, характер которых сформулирован мною ранее. Принимая, что t - это отношение (случайная переменная) диапазона девиации от прямой, соединяющей первое и последнее значения сегмента континуального случайного блуждания к выборочной стандартной девиации приращения, это распределение определяет вероятность, Р„где t меньше или равно любому t.

Рассмотрим следующий стохастический процесс. Примем, что

На случай, если вы этого не знали раньше, речь идет о сериальных коэффициентах корреляции - и я, глядя на них, испытываю то же самое чувство, что и вы. Другой подход к проблеме состоит в том, чтобы протестировать механические правила для ведения торговых операций и убедиться, дают ли они лучший результат, чем просто покупка и откладывание акций. Профессор Сидней Александер из МИТ, например, перепробовал все виды фильтров, по результатам тестов делая заключение о том, что произойдет, если следовать различным механическим правилам торгов.

(Пятипроцентный фильтр работает следующим образом. Если какие-то акции поднимаются в какой-либо день на 5 процентов, покупайте их и держите до тех пор, пока цена с последней высшей точки не двинется вниз на 5 процентов. Тогда вам следует их продать и далее идти на продажу без покрытия. Продолжайте продавать без покрытия до тех пор, пока котировка на момент закрытия не превысит последнюю низшую точку как минимум на 5 процентов. В этом случае покройте проданное и начинайте покупать.)

Как видите, фильтр действительно связан с анализом тенденций и с измерением движения цен. Профессор Александер сообщает о проделанной проверке фильтров с уровнем от 1 до 50 процентов (см. «Движения цен в условиях спекулятивных рынков: тенденции и случайные блуждания»). При этом выяснилось, что просто покупать и держать акции постоянно дает лучший результат, чем применение любого из фильтров.

Поэтому сторонники случайного блуждания утверждают, что заявление типа «акция с проявившейся тенденцией с большей вероятностью будет продолжать двигаться с этой тенденцией», есть абсолютная чепуха. Шансы того, сохранится или нет тенденция движения акции, равны пятьдесят на пятьдесят.

То же самое можно сказать о бросании монеты. Если вы бросаете монету пять раз, и пять раз подряд выпадает орел, каковы шансы на то, что и в шестой раз выпадет open? А если вы бросаете монету сто раз, и сто раз подряд выпадает орел, каковы шансы на то, что орел выпадет и в сто первый раз? Те же самые пятьдесят на пятьдесят.

«Если модель случайного блуждания адекватно описывает реальность, - говорит профессор Фейма,- то работа технического аналитика, как и работа астролога, не имеет никакой реальной ценности».

С особенной агрессивностью приверженцы случайного блуждания настроены по отношению к чартистам. Как я уже рассказывал, один профессор случайного блуждания буквально подавился десертом у меня в доме, когда кто-то посмел сказать, что, возможно, диаграммы стоит принимать всерьез. (Теперь в нашей семье заведено правило: все сторонники случайного блуждания должны закончить свой десерт, прежде чем может быть затронута тема графиков и диаграмм.) Другой мой знакомый профессор, апологет случайного блуждания, стал со своими студентами бросать монету, приняв орел за плюс и решку за минус. Потом они составили диаграмму, ставя крестик при выпадении орла и нолик при появлении решки. И что вы думаете? Получилась классическая диаграмма типа «крестики-нолики», со всеми непременными элементами: «головой и плечами», «обратными движениями», «двойными вершинами» и всем прочим.

Но приверженцы случайного блуждания не ограничиваются атаками на чартистов. Они намерены серьезно побеспокоить и аналитиков-фундаменталистов. Вот как они рассуждают в данном случае.

Между реально существующей ценой и действительной внутренней ценностью акции имеются расхождения. Аналитик собирает всю доступную ему информацию и, прилагая все свои знания и таланты, высказывается за покупку или, соответственно, продажу. Его действия помогают сузить существующий разрыв между ценой и внутренней ценностью. И чем лучше и искушеннее аналитики, тем в большей степени они нейтрализуют самих себя, потому что все более «эффективным» становится рынок. А «эффективный» рынок четко согласуется с моделью случайного блуждания, где внутренняя ценность уже учтена и отражена в цене.

Понятно, что аналитик, находящийся на шаг впереди остальных, в условиях эффективного рынка перекроет суммарный средний результат своих коллег, но штука в том, что все аналитики убеждены, что их способности и профессионализм выше среднего. Достижения аналитика должны постоянно быть выше, чем результаты случайным образом составленного портфеля активов того же самого характера уже хотя бы потому, что каждый аналитик с 50-процентной вероятностью перекроет результат случайной выборки, даже если он полный идиот или пользуется мишенью и дротиками вместо логарифмической линейки.

Мир случайного блуждания - холодный, суровый и весьма негативный мир. Приверженцы этой теории верят в существование внутренней ценности акции, но нам от этого не легче, потому что акции продаются по своей внутренней ценности,- что бы мы под этим термином ни понимали - только в те моменты, когда рынок пересекает эту отметку, двигаясь вверх или вниз. Иными словами, внутренняя ценность оказывается верной точкой отсчета в том же смысле, в каком и остановившиеся часы показывают правильное время два раза в сутки.

Как мы уже знаем, существует одиннадцать тысяч аналитиков по ценным бумагам - и уж, конечно, многие тысячи чартистов. Чартисты не верят в случайное блуждание, потому что такая вера лишила бы их работу всякого смысла - какому же профессионалу приятно сознавать, что мишень с дротиками работает не менее эффективно, чем он? Что касается аналитиков, то они считают, что случайное блуждание не играет никакой роли, потому что их информированность и интуиция позволяют им быть впереди. Ни один из них всерьез не погружается в математические доказательства теории случайного блуждания. Если бы они это сделали и приняли приведенные аргументы, то, возможно, смирились бы с некоторой потерей в зарплате и переключились бы на преподавание в школах бизнеса, но пока никакого заметного исхода в этом направлении не наблюдалось.

В поддержку скептиков мы можем лишь еще раз обратиться к предпосылке, утверждающей, что биржа в разумных пределах «эффективна», то есть, что это рынок, где цифры рациональны, а нацеленные на прибыль инвесторы конкурируют между собой. Вполне, однако, вероятно, что инвесторы - и даже холодные, суровые, профессиональные инвестиционные менеджеры - не рациональны, или рациональны не на все 100 процентов. Возможно, они предпочитают иметь некоторую прибыль и чувствовать; что они в своих решениях не одиноки, чем иметь максимальную прибыль и испытывать непрекращающуюся тревогу. Инвестор в модели случайного блуждания с подозрительным постоянством ведет себя как «гомо экономикус», а мы уже не раз рассуждали о.том, что «гомо» все-таки не совсем «экономикус». Как сказал лорд Кейнс, «нет ничего более катастрофического, чем рациональная инвестиционная стратегия в иррациональном мире».

До сих пор еще никто не сумел втиснуть эмоции в сериальные коэффициенты корреляции и в анализ прогона сериальных испытаний. Абсолютно верно, что, статистически рассуждая, завтрашняя цена акции не имеет никакого отношения к ее вчерашней цене. Но люди, Толпа, наделены памятью, которая охватывает и тот день, и этот. Вы, наверное, заметили кое-что, в равной степени присущее и миру случайного блуждания, и миру графиков и диаграмм: ни в одном из этих миров нет места для людей. Там есть цены, там есть коэффициенты, там есть прошлое (или же его нет - в зависимости от того, какой из двух теорий вы придерживаетесь). Дерево епископа Беркли падает в лесу и производит страшный шум, хотя нет никого, кто бы этот шум услышал.

Если биржа - это действительно Игра, то в Игру вполне можно играть и без всяких внутренних ценностей. А если одно из правил Игры гласит, что дерево епископа Беркли падает тогда, когда все решили, что оно упало, - то даже и в самом дереве нет нужды. Если принтеры будут печатать сертификаты на обладание акциями, Нью-Йоркская фондовая биржа будет по-прежнему открыта, а банки будут время от времени опечатывать цифры дивидендов, то вся Игра остается на месте, даже если все сталеплавильные заводы, склады и железные дороги таинственным образом исчезли - при условии, что никто из участников Игры об этом не знает.

Приверженцы случайного блуждания для более сложных доказательств правоты своей теории обращаются к компьютерам, надеясь обрести дополнительные силу и авторитет. Теханалитики тоже обращаются к компьютерам, прогоняя выборки и фильтры, настроенные не только на ценах закрытия, но и на максимумах и минимумах, скользящих средних и т.д. - в общем, по любому мыслимому сериальному отношению величин. Но компьютеры программируются людьми, машины не способны думать сами. Посему одни и те же компьютеры выдают не одни и те же доказательства. Первый вызов математическому языку теории случайного блуждания был брошен в работе Роберга Леви «Концепция относительной силы» - и, вероятно, где-то зреет ответ на нее на том же самом языке.

Влияние теории случайного блуждания должно бы быть благотворным по определению уже потому, что она заставляет всех проверять и перепроверять полученные результаты вместо того, чтобы принимать на веру мифы и обобщения. Но в то же время - я здесь ни на что не намекаю - среди приверженцев случайного блуждания очень мало богатых людей, как мало их и среди чартистов, С другой стороны, есть весьма успешные инвесторы, не располагающие какими-то сформулированными системами. Может быть, они просто попали в удачную серию сделок, может быть, они более рациональны или имеют больший доступ к информации. А может быть, они - и этого не желают принять к сведению в суровом мире статистики - просто более хорошие знатоки человеческой психологии.

Сторонники случайного блуждания не утверждают единогласно, что биржа - это случайное блуждание. Некоторые признают: нет, это не совсем так - уже хотя бы потому, что рынок далек от совершенства, от полной «эффективности». Иными словами потому, что на нем есть люди. «Моя модель, - пишет профессор Кутнер, - полностью совместима с тем, как мне видится чтение диаграмм на Уолл-стрит. Подобно индейским знахарям, открывшим транквилизаторы, уолл-стритские шаманы, без каких бы то ни было научных методов, с помощью своей магии что-то все-таки производят, не имея понятия о том, что они произвели и как оно работает». А профессор Александер заключает одну из своих статей так: «В условиях спекулятивного рынка цена, как видится, со временем следует принципу случайного блуждания, однако ее движение, однажды начавшись, имеет тенденцию продолжаться».

Но по движению, которое имеет тенденцию продолжаться, уже можно построить диаграмму. («Результаты статистиков в исследовании случайного блуждания в длительном временном интервале не противоречат неслучайным тенденциям в интервале происходящего движения», - пишет профессор Александер.)

Честно говоря, следует приложить уже упомянутую в этой книге предвзятость как к диаграммам, так и к случайному блужданию. Диаграмм мы вскользь коснулись, но техническая работа охватывает, кроме движения цен, и другие факторы (объем продаж, его рост, падение и т.д.), что диаграммы с готовностью нам и демонстрируют. Моя предвзятость, в которой я уже признавался, заключается в любви к «накапливающимся доходам», вполне укладывающимся в старую фундаменталистскую концепцию, называемую «Учтенная в настоящем ценность будущих прибылей». А от нее уже рукой подать до классической фундаменталистской теории «Нынешней ценности будущих дивидендов». Бесспорно, в растущие доходы вплетена идея «Внутренней ценности», но в Игру можно играть и при наличии «Внутренней ценности». А если биржа - это Игра, то попытки статистиков уничтожить диаграммы и графики вовсе не так страшны, как они представляются. Чартисты, вместе взятые, сами по себе становятся серьезной рыночной силой. Может быть, они просто принадлежат к иррациональной и еще неизмеренной австралопитековой стороне рынка.

Есть и еще одна претензия, которую следует предъявить академическим исследователям: они склонны читать лекции на языке, которым слушатель не владеет,- например, на языке квадратных уравнений. «В отношениях между математикой и отношением инвестора к акциям существует специфический парадокс», - пишет Бенджамин Грэм, старейшина финансового анализа, в своей книге «Разумный инвестор». Грэм продолжает:

«Считается, что математика дает точные и надежные результаты. Но на фондовой бирже, чем более изощрены и сложны математические построения, тем более ненадежны и гадательны те выводы, которые мы из них делаем. За все сорок четыре года моего опыта на Уолл-стрит я ни разу не видел надежных расчетов ценности акций или связанной с ней инвестиционной стратегии, которые выходили бы за пределы простой арифметики или самой элементарной алгебры. Если в игру входит математический анализ или высшая алгебра,- это всегда признак того, что автор пытается подменить опыт теорией».

Как вы могли бы предположить, памятуя о моей собственной предвзятости, я с готовностью соглашаюсь здесь со старейшиной финансового анализа. Более того. Мне кажется, что даже если бы адепты случайного блуждания объявили о том, что найдено безупречное математическое доказательство случайного характера биржевых процессов, я все равно продолжал бы верить в то, что в длительной перспективе будущие прибыли влияют на текущую цену, а в краткосрочной перспективе доминантным фактором останется неуловимый австралопитек - характер и настроение толпы.

Данная заметка носит методический характер и призвана напомнить (или научить:)), что такое случайное блуждание и какова его роль в биржевой торговле. Случайное блуждание (или броуновское движение или random walk)-это процесс с независимыми приращениями, причем каждое приращение обладает нулевым средним. Пример такого процесса: берем монетку и кидаем. Если орел, то очередное приращение равно +1, если решка-очередное приращение равно -1. Кидаем много раз и суммируем нарастающим итогом. В общем, проще не придумаешь.
Несмотря на простоту такого построения оно имеет чрезвычайно важную роль для понимания динамики цен на бирже. Взглянем на график случайного блуждания:

Данная картинка является вполне типичной. Как видно, тут есть многое из любимых атрибутов теханализа-уровни, фигуры, тренды, итд. Да и вообще, картинка явно похожа на реальные цены. Таким образом, случайное блуждание-это явно неплохая модель рынка.

Раз мы нашли такую удачную математическую модель реальной жизни, то неплохо было бы обсудить свойства модели. Основные свойства таковы:
1) На случайном блуждании нельзя заработать. Никакими методами, в том числе и управлением капиталом и риск-менеджментом. Это связано с тем, что процесс этот не имеет памяти-каждое следующее приращение никак не связано с предыдущим.
2) Случайное блуждание с вероятностью, стремящейся к 1, достигнет любого наперед заданного уровня-хоть миллиона, хоть миллиарда. Это, в среднем, происходит за время, пропорциональное квадрату величины уровня.
Уже из свойства 1) вытекает, что любители огульного использования теханализа не понимают, что они делают. И если даже и зарабатывают, то не знают почему-что плохо. Я не против теханализа, но причины того, что он иногда работает-весьма нетривиальны.
Из свойства 2) вытекает, что рынок может уйти чертовски далеко вообще без причин-привет любителям продажи опционов и торговцам без стопов.
Теперь ответим на вопрос-почему рынок так похож на случайное блуждание? Причин две:
1) Просто непрерывный поток лимитных и рыночных ордеров, каждый из которых не связан ни с каким другим, приведут к случайному блужданию цены.
2) Торгующие, как правило, ищут закономерности в цене (то есть отклонения цены от случайного блуждания). И если находят-начинают вблизи этой закономерности торговать. Дальше происходит нетривиальная эволюция, которую я здесь пояснять не буду, но в итоге этой эволюции рано или поздно закономерность перестанет существовать. Именно поэтому успешные трейдеры не любят просто так делиться своими торговыми системами.
И, в заключение, обсудим философские аспекты модели. Модель случайного блуждания-это всего лишь математическая модель. А реальный рынок-это набор людей. И, естественно, если бы мы знали все про всех торгующих, то никакая модель случайного блуждания нам вообще была бы не нужна-для нас каждое движение цены было бы не случайным, а полностью понятным. Но все про всех знать нельзя, а вот кое-что и про некоторых-запросто. И любая хорошая торговая система-это прежде всего знание некой особенности поведения некоторых торгующих на рынке.

Приложение: генерация случайного блуждания в Excel
Для генерации случайного блуждания в эксель можно использовать, например, такой код:

Option Explicit
Sub Rand_Walk()
Dim x As Single, s As Single
Dim i As Integer, imax As Integer
imax = 10000
s = 0
For i = 1 To imax
Randomize
x = Rnd()
x = 2 * x - 1
s = s + x
Cells(i, 1) = i
Cells(i, 2) = s
Next i
End Sub

Его нужно скопировать в код любого листа эксель. Запустить и построить график по первым двум столбцам листа. После этого можно любоваться квазибиржевыми котировками.

Хаотическое движение броуновских частиц в жидкости или газе представляет собой пример случайных блужданий. Теория броуновского движения была построена А.Эйнштейном и М.Смолуховским в 1905 - 1906 гг.

Задача о случайных блужданиях является одной из широко исследуемых задач теории вероятностей и находит множество других приложений.

6.1. Закономерности случайных блужданий

Закономерности случайных блужданий можно понять, используя простую модель, которая легко реализуется с помощью компьютера.

N частиц (которые в начальный момент для удобства наблюдений распределены на осиy ) смещаются последовательными шагами ∆x вдоль осиx . Каждый шаг каждой частицы выбирается случайным и независимым от других шагов. Однако распределение вероятностей при выборе любого шага одно и то же. Примем, что смещения в противоположные стороны равновероятны. Это значит, что среднее значение смещения

∆x = 0.

Смысл этого равенства в том, что среднее арифметическое смещений ∆x очень большого числа частиц приближается к нулю по мере роста этого числа. Так понимается усреднение и далее. Иногда такие средние величины называютаприорными 19 . Кроме того, мы будем использовать «наблюдаемые средние» – средние арифметические для заданного числа частиц (как правило, очень большого). «Наблюдаемое среднее» смещения частицы ∆x н мало, но не равно нулю.

После каждого шага частицы будут «расползаться» от оси y . Обозначимx (k ) координату некоторой частицы черезk шагов. Тогда

x (k + 1) =x (k ) + ∆x.

Усреднив это равенство (вновь по множеству частиц), получаем

x (k + 1) =x (k ) ,

т.е. среднее значение x (k ) не изменяется от шага к шагу и, следовательно, равноx (0) = 0. Наблюдаемое значениеx н для большого числа частиц

	x (k )н =N
			1 x j (k )

ранее предполагаем, что вероятность выпадения «орла» равна 1/2.

окажется близким к нулю (здесь x j - координата j -й частицы)20 .

Ширину полосы, по которой распределяются частицы после k -го шага, удобно характеризовать величинойx 2 (k ) . Чтобы выяснить зависимость этой величины от числа шагов, возведем равенство (2 ) в квадрат и усредним:

x 2 (k + 1) =x 2 (k ) + 2x (k )∆x + (∆x )2 .

Ввиду независимости x (k ) и ∆x имеем

x (k )∆x =x (k ) ∆x = 0.

Обозначим (∆x )2 =a 2 . Из (4) следует

x 2 (k + 1) =x 2 (k ) +a 2 ,

т.е. средний квадрат координаты растет с каждым шагом на величину a 2 . Значит,

x2 (k) = ka2 .
Наблюдаемое значение
	н =		xj 2

изменяется приблизительно пропорционально числу шагов.

Распределение частиц в занятой ими полосе более детально характеризуется функцией распределения f (x ), определяющей концентрацию частиц;dW =f (x )dx

– вероятность того, что координата j -й частицы после k -го шага окажется в интервалеx ≤ x j ≤ x +dx . Теория случайных блужданий дает для достаточно большого числа шаговk распределение Гаусса

	f (x ) =
		√ 2 πka2

Наблюдаемая функция распределения получается путем разбиения оси x на конечные интервалы и подсчета числа частиц в каждом из них. Результат подсчета представляется графически ступенчатой кривой –гистограммой (рис.7 ).

Обратим внимание на одно свойство зависимости (5 ). Если укрупнить шаги по времени вl раз, то средний квадрат смещения за один шагa 2 следует в соот-

						K/l . В итоге
ветствии с (5 ) заменить наa					А число шагов k – наk
	(k ) =la	· k/l = a	k , т.е. вид зависимости (5 ) не изменяется при укрупнении

20 При заданном числе частицN это справедливо для не слишком большого номера шагаk .

Рис. 7. Распределение частиц при диффузии (гистограмма и теоретическая кривая)

6.2. Оценка параметров движения броуновской частицы в жидкости

Приведем оценки для реального броуновского движения. Средняя скорость хаотического движения броуновской частицы v T определяется так же, как средняя скорость молекулы, соотношением

Если же скорость частицы близка к тепловой, v v T , то и сила, естественно, гораздо меньше, а отклонения ее от среднего значения−αv весьма существенны.

21 Для шарика радиусаR в жидкости с коэффициентом вязкостиη согласно закону Стокса

α = 6 πηR.

Именно эти отклонения ответственны за безостановочное хаотическое движение частицы. Если речь идет о таком движении, то τ из (9 ) можно понимать как оценку времени, спустя которое частица «забывает» начальное направление движения. Но та же величинаτ дает грубую оценку интервала времени, в течение которого частица «помнит» направление движения. (Может быть, для оценки времени «гарантированного забывания» стоило бы взять 2τ , а для оценки времени гарантированного сохранения направленияτ/ 2, но нас интересуют не «гарантированные», а средние времена, поэтому будем полагать, что коэффициенты 2, 1/2 и т.п. лежат за пределами принятой точности оценок.)

За время τ частица проходит путь, равный по порядку величины

a vT τ.

Смещения частицы за различные интервалы времени порядка τ мы можем рассматривать как случайные, подобные рассматривавшимся ранее ∆x , только направленные не вдоль осиx , а в произвольном направлении (например, как три одновременных и независимых смещения вдоль трех осей координат). Движение частицы за времяt τ можно разбить наk t/τ таких шагов. Смещение частицы за времяt оценивается по аналогии с (5 ):

		(t) ka(vT τ)
Этот результат обычно представляют в виде
		r2 (t) = 6 D t,

где D – коэффициент диффузии22 . С учетом (8 ), (9 ), (11 )

D k α Б T .(13)

Если сначала частицы были сосредоточены в каком-то малом объеме, то со временем они распространяются все дальше, занимая область размераr (t ).

Соотношения вида (12 ), (13 ), полученные Эйнштейном и Смолуховским, послужили основой экспериментов Перрена, в ходе которых была определена масса атомов и которые были приняты «научной общественностью» в качестве убедительного доказательства существования атомов.

Описанные выше закономерности следует понимать как предельный случай, отвечающий наблюдению бесконечного числа частиц. Реализация же случайных блужданий конечного числа частиц, совершающих броуновское движение (настоящих или «компьютерных»), демонстрирует лишь приближенное выполнение этих соотношений.

22 Для случайных блужданий в направлении осиx вместо (12 ) имеемx 2 (t ) = 2 D t .

При рассмотрении случайных блужданий состояние системы для наглядности интерпретируют как положение движущейся «частицы».

Одномерное случайное блуждание представляет собой марковскую цепь, пространство состояний которой состоит из конечного или бесконечного множества целых чисел; если частица находится в состоянии I, то за один шаг она может либо перейти в одно из своих соседних состояний или , либо остаться в состоянии Если пространством состояний служит множество неотрицательных целых чисел, то матрица переходных вероятностей случайного блуждания имеет вид

где . Числа имеют следующий смысл: если то при

изменения для очевидны.

В пользу названия «случайное блуждание» для процесса такого типа говорит тот факт, что его реализация описывает путь «абсолютно пьяного» человека, делающего случайным образом шаг вперед или шаг назад.

Капитал игрока, участвующего в серии партий азартной игры, часто описывают процессом случайного блуждания. Предположим, что игрок А, имеющий капитал играет с бесконечно богатым партнером, при этом вероятность того, что он выиграет партию и увеличит свой капитал на единицу, равна а вероятность того, что он проиграет и тем самым уменьшит свой капитал на единицу, равна . Зависимость вероятностей выигрыша и проигрыша от отражает возможную зависимость условий игры от капитала. Так, можно условиться, что, оказавшись в состоянии О (соответствующем разорению игрока А), процесс остается в этом состоянии, т. е. Процесс где размер капитала игрока после партий, является процессом случайного блуждания. Этот процесс известен под названием «задачи о разорении игрока».

Случайное блуждание с соответствует одинаковым повторяющимся партиям; если то в каждой партии шансы игрока А явно предпочтительнее. В гл. 3 мы покажем, что в этом случае с вероятностью где его начальный капитал, игрок А разоряется (теряет свой капитал) и с вероятностью его капитал будет беспредельно возрастать. Если же то игра явно выгодна хозяевам игорного заведения, и почти наверное (с вероятностью 1) игрок А разорится, если будет играть достаточно долго. Игрок А обречен на разорение (с вероятностью 1) и в том случае, когда игра безобидна, т. е. когда

Если партнер, игрок тоже начинает игру, располагая ограниченным капиталом у, то капитал игрока А снова описывается марковской цепью Однако эта цепь имеет конечное множество состояний где начальные состояния игроков соответственно. Разность интерпретируется как капитал игрока Б после партий. Если среди исходов каждой партии допускается ничья, то матрица переходных вероятностей цепи имеет вид

Как и ранее, есть вероятность того, что игрок А, имея капитал увеличит (уменьшит) его на единицу в следующей партии. Отметим, что в соответствии с матрицей переходных вероятностей (2.3) капитал игрока А (состояние процесса), достигнув величины а или обратившись в 0, остается в этих состояниях навсегда. Мы говорим, что игрок А разорен, если процесс достиг состояния 0; если же процесс попадает в состояние а, то мы говорим, что разорен игрок

Случайные блуждания оказываются полезными не только для описания игровых ситуаций, но и служат неплохими моделями физических процессов, в частности диффузии частиц. Если частица претерпевает случайные столкновения, то ее положение подвержено случайным флуктуациям, хотя описываемая ею траектория непрерывна. Если будущее положение (точнее, его распределение вероятностей) частицы зависит только от ее настоящего положения, то процесс где положение частицы в момент является марковским. Дискретная аппроксимация такого непрерывного движения соответствует случайному блужданию. Симметричное случайное блуждание представляет собой классический дискретный аналог броуновского движения (см. § 2 гл. 1). Под симметричным случайным блужданием на множестве всех целых чисел подразумевается марковская цепь с пространством состояний, являющимся множеством всех целых чисел, с элементами матрицы переходных вероятностей вида

где . Обычно симметричным случайным блужданием называют марковскую цепь с

Исследование некоторых физических моделей приводит нас к рассмотрению случайных блужданий на множестве неотрицательных целых чисел. Можно дать классификацию таких процессов на основе свойств нулевого состояния. Пусть случайное блуждание описывается матрицей (2.2). Если (а значит, и ), то нулевое состояние обладает свойствами отражающего экрана. Всякий раз, когда частица достигает нулевого состояния, в результате следующего перехода она оказывается в состоянии 1. Это соответствует ситуации, когда в нуле находится упругая стенка и частица отскакивает от нее без каких-либо остаточных явлений.

Если то нулевое состояние ведет себя как поглощающий экран. Попав в нулевое состояние, частица остается

в нем навсегда. Если то нулевое состояние является частично отражающим экраном.

Если случайное блуждание ограничено конечным числом состояний, скажем оба крайних состояния 0 и а независимо и в любой комбинации могут быть отражающими, поглощающими или частично отражающими экранами. Мы уже имели дело со случаем, когда состояния 0 и а были поглощающими [см. (2.3)].

Классическую модель диффузии через мембрану представляет собой модель Эренфестов. Модель описывается как процесс случайного блуждания с конечным числом состояний причем крайние состояния - а и а являются отражающими экранами. Матрица переходных вероятностей задается следующим образом:

Физическая интерпретация этой модели такова. Имеется две урны содержащие вместе 2а шаров. Предположим, что урна А содержит шаров. При каждом испытании случайным образом выбирается один шар и перекладывается в другую урну; при этом каждый из шаров имеет равную со всеми остальными вероятность быть переложенным независимо от того, в какой урне он находится. Каждое испытание приводит к изменению состояния 1) системы. Характерным для перемещения шаров будет преимущественное направление от урны с большей концентрацией к урне с меньшей концентрацией. Модель Эренфестов в некоторых случаях можно использовать для исследования физических систем, находящихся под действием восстанавливающих сил, величина которых пропорциональна расстоянию от положения равновесия.

Классическое симметричное -мерное случайное блуждание определяется следующим образом. Пространством состояний процесса является целочисленная решетка в (n-мерном евклидовом пространстве), точки которой суть наборы из целых чисел вида Переходные вероятности определяются следующим образом:

Аналогично одномерному случаю -мерное симметричное случайное блуждание представляет собой дискретный аналог -мерного броуновского движения.